本文针对单载波多径信道下的三种前缀效果进行推导.

系统模型

考虑准静态多径信道的存在，即信道存在多径时延，但其响应在一段时间内保持不变，即${\bf h}=[h_0,h_1, \cdots,h_{L-1}]^T$. 且信号由三部分组成，导频，数据和保护间隔(可以是CP，ZP). 考虑时域信号成块状分布，总块数为$K$, 每块大小为$M$. 从前至后依次为导频,数据和CP, 其中CP长度为$N_P$, 数据长度为$N_D$，保护间隔长度为$N_G$. 令${\bf x}[k]=[x_0[k],x_1[k],\cdots, x_{M-1}[k]]^T$表示第$k$块的数据，因此实际数据组织形式为${\bf x}=[{\bf x}[0]^T,{\bf x}[1]^T,\cdots, {\bf x}[K-1]^T]^T$. 因此，经过信道的大致表达式为 $${y_n} = \sum\limits_{l = 0}^{L - 1} {{x_{n - l}}} h[l]$$

此处的下标$n$为$\bf y$的统一下标，对应的$x$的下标为将$\bf x$进行统一标定后的结果.

以下讨论足够长的三种保护前缀下，将上述等式按列进行展开的结果.

零前缀

此时展开为 $$\bf Y=\bf H\bf X$$

其中${\bf{X}} = [ {{\bf{x}}[0]}, {{\bf{x}}[1]},\cdots, {{\bf{x}}[K-1]} ]\in {\mathbb C}^{M\times K}$; ${\bf{Y}} = [ {{\bf{y}}[0]}, {{\bf{y}}[1]},\cdots, {{\bf{y}}[K-1]} ]\in {\mathbb C}^{M\times K}$. 而在信号足够长的情况下，信道矩阵$\bf H$为 $${\bf{H}} = \left[ {\begin{matrix} {{h_0}}&0& \cdots &0\\ {{h_1}}&{{h_0}}& \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots &0\\ 0& \cdots &{{h_1}}&{{h_0}} \end{matrix}} \right]\in {\mathbb C}^{M\times M}$$

观察到，由于零前缀的存在，$y_0[k]$仅仅与$x_0[k]$有关, 前数个元素同理. 此时，上一子块的ISI消失. 并且由于${\bf X}_{M-N_G+1:M,:}$为零元，改变矩阵的对应位置的元素不影响结果，因此可以将信道矩阵变为 $${\bf{H_1}} = \left[ {\begin{matrix} {{h_0}}&0& \cdots &h_1\\ {{h_1}}&{{h_0}}& \cdots &h_2\\ \vdots & \vdots & \ddots &0\\ 0& \cdots &{{h_1}}&{{h_0}} \end{matrix}} \right]\in {\mathbb C}^{M\times M}$$ 此时$\bf H_1$为循环矩阵，可进行傅里叶对角化. 即${{\bf{H}}_1} = {\bf{F}}^H\Lambda{{\bf{F}}}$. 同时存在$diag(\Lambda)=FT(\bf h)$, 其中$FT$为傅里叶变换. 此时，对于对角阵可以使用较为简便的方式进行均衡.

常数前缀

此时需要在最前方增加相同的常数，之后的推导过程与零前缀基本相同。

循环前缀

注意此时本块内部的数据加的是后面一块数据的一部分，举例，${\bf x}[0]$后侧循环前缀为${\bf x}[1]$的倒数$N_G$个数据，这样才能保证后文的循环性. 同时 最开始数据的最前方也应增加循环前缀.

在去除CP后，此时数据也可展开为 $$\bf Y'=\bf H_1\bf X'$$ 但此时${\bf{X'}} = [ {{\bf{x'}}[0]}, {{\bf{x'}}[1]},\cdots, {{\bf{x'}}[K-1]} ]\in {\mathbb C}^{(M-N_G)\times K}$; ${\bf{Y'}} = [ {{\bf{y'}}[0]}, {{\bf{y'}}[1]},\cdots, {{\bf{y'}}[K-1]} ]\in {\mathbb C}^{(M-N_G)\times K}$, 其中${{\bf{x'}}[k]}$和${{\bf{y'}}[k]}$为去除CP的数据。 而此时 $${\bf{H_1}} = \left[ {\begin{matrix} {{h_0}}&0& \cdots &h_1\\ {{h_1}}&{{h_0}}& \cdots &h_2\\ \vdots & \vdots & \ddots &0\\ 0& \cdots &{{h_1}}&{{h_0}} \end{matrix}} \right]\in {\mathbb C}^{{(M-N_G)}\times {(M-N_G)}}$$ 注意到此时矩阵维度减小，同时矩阵直接是标准的循环矩阵，可以直接进行傅里叶对角化.

总结

三种前缀下，均可以进行单载波频域均衡。但三种前缀的加的方式不同，且不同的前缀具有不同的特性(PAPR等)，需要酌情选择.